Somma degli spostamenti

Se un corpo compie uno spostamento Ds1 rispetto al sistema di riferimento 1 il quale compie uno spostamento Ds2 rispetto al sistema di riferimento 2, allora il primo corpo, rispetto al sistema di riferimento 2, compirà uno spostamento dato dalla somma dei due spostamenti:

D s tot = D s 1 + D s 2

ESEMPIO: un gatto si muove su una barca (sistema di riferimento 1). La barca si muove rispetto agli argini (sistema di riferimento 2). Lo spostamento del gatto rispetto agli argini (sistema di riferimento 2) è dato dalla somma del suo spostamento sulla barca più lo spostamento della barca rispetto agli argini

Somma delle velocità

Stessa considerazione deve essere fatta per le velocità. Se il gatto si muove con velocità v1 sulla barca e quest’ultima si muove con velocità v2 rispetto agli argini, la velocità del gatto rispetto agli argini sarà data dalla somma delle due velocità

vtot = v1 + v2

Invarianza dell’accelerazione

Supponiamo che la barca si muova di moto rettilineo uniforme rispetto agli argini, sia pertanto un sistema di riferimento inerziale. Se la velocità del gatto rispetto alla barca varia, sarà soggetto ad una accelerazione che sarà la stessa sia rispetto alla barca che rispetto agli argini, considerato che la barca ha accelerazione nulla rispetto agli argini. Ne consegue che un punto materiale si muove con la stessa accelerazione rispetto a tutti i sistemi di riferimento inerziali

Principio di indipendenza dei movimenti simultanei

Se un corpo è soggetto contemporaneamente a due movimenti, ciascuno si svolge come se l’altro non fosse presente

Moto di un proiettile sparato orizzontalmente

All’istante t0 spariamo un proiettile in direzione orizzontale con velocità v0 e costante nel tempo. Fissiamo un sistema di assi cartesiani con x avente la stessa direzione di v0 e y positivo verso il basso. Il proiettile sarà soggetto a due movimenti simultanei, rettilineo uniforme sul piano orizzontale e rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione pari alla gravità, su quello verticale. Per il principio di indipendenza dei movimenti simultanei, ad un certo istante t, possiamo conoscere la velocità del proiettile lungo l’asse x e lungo l’asse y

vx = v0

vy = g*t

Nello stesso istante le coordinate lungo x ed y saranno:

x = v0 * t

y = ½ * g * t2

Ricaviamo t dalla prima formula:

t = x / v0

E sostituiamolo nella seconda:

y = ½ * g * x2 / v02

Questa equazione esprime la relazione tra le coordinate x ed y del proiettile, è cioè l’equazione della sua traiettoria.

Siccome g e v0 sono costanti, y è direttamente proporzionale ad x al quadrato e pertanto la traiettoria del proiettile è un arco di parabola avente l’asse y come asse di simmetria

Moto di un proiettile sparato obliquamente

All’istante t0 spariamo un proiettile in direzione obliqua a rispetto all’orizzontale con velocità v0 e costante nel tempo. Fissiamo un sistema di assi con origine O nel punto di lancio. In ogni istante la velocità lungo l’asse delle X sarà pari a vox, costante e pari a

vox = vo * cos a

La velocità lungo l’asse delle Y diminuirà per effetto della accelerazione di gravità (moto uniformemente accelerato) e sarà pari a:

vy = vo * sen a – g*t

Quando vy = 0 il proiettile ha raggiunto la massima altezza, quindi riprende a muoversi verso il basso accelerando sotto l’azione di g

La massima distanza raggiunta in orizzontale dal proiettile si chiama gittata e può essere calcolata in funzione dell’angolo a di lancio e della velocità iniziale v0

Ricaviamo l’equazione della traiettoria del proiettile sparato obliquamente.

x = v0 * cos a * t

y =vo * sen a * t - ½ * g * t2

Ricaviamo t dalla prima formula:

t = x / (v0 * cos a)

E sostituiamolo nella seconda 

y = vo * sen a * x / (v0 * cos a) - ½ * g * x2 /(v0 * cos a)2

Il proiettile termina la sua corsa quando torna nella stessa posizione verticale del punto di partenza, quando cioè y = 0. Per cui:

vo * sen a * x / (v0 * cos a) - ½ * g * x2 /(v0 * cos a)2 = 0

Mettiamo a fattor comune la x e semplifichiamo v0

[sen a * / cos a - ½ * g * x /(v0 * cos a)2] * x = 0

Questa equazione ha due soluzioni, quando x = 0 (cioè il punto di partenza del proiettile) ed x pari alla gittata

sen a * / cos a = ½ * g * x /(v0 * cos a)2

Da cui

x = 2 * sen a * cos a * v02 / g

La gittata quindi è direttamente proporzionale al quadrato della velocità di lancio ed è massima quando sen a * cos a assume il valore massimo.

sen a varia da 0 quando a è pari a 0° a 1 quando a è pari a 90°

cos a varia da 1 quando a è pari a 0° a 0 quando a è pari a 90°

Il prodotto sen a * cos a è quindi massimo quando a è pari a 45°, ovvero la gittata sarà massima con un angolo di lancio pari a 45°